Espaces Vectoriels

ESPACES VECTORIELS                                        

On appelle espace vectoriel sur un corps  ou un -espace vectoriel, un ensemble  , non vide muni :

-          D’une loi de composition interne :

    

-          D’une loi de composition externe :

Vérifiant les propriétés suivantes :

1.       , 

2.        un élément neutre

3.      

4.      

5.      

6.      

7.       ,

8.       .

Les éléments de  souvent notés :  sont appelés  et les éléments de  souvent notés :  sont appelés , l’élément neutre  est appelé vecteur nul.

 

Exemple1 :

Posons  . Munissons  de la loi de composition interne  :

Et de la loi de composition externe  :

Alors  est un -espace vectoriel.

Exemple2 :

Posons  Munissons  de la loi de composition interne  :

,  .

Et de la loi de composition externe  :

Alors  est un -espace vectoriel.

Exemple3 :

Posons  (l’ensemble des fonctions  ), . Munissons  de la loi de composition interne  :

Et de la loi de composition externe  :

Alors Alors  est un -espace vectoriel.

Sous-espaces vectoriels

Soit  un -espace vectoriel et  une partie non vide de  On dit que  est un sous-espace vectoriel de  si :

1-     

2-     

Exemple1 :

  et   sont deux sous-espaces vectoriels du -espace vectoriel  .

Propriétés

1-      Soit  une partie non vide d’un -espace vectoriel  alors  est un sous-espace vectoriel de  si et seulement si

2-      Si  est un sous-espace vectoriel d’un -espace vectoriel , alors

3-      L’intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, la réunion ne l’est en général pas.

Exemple2 :

N’est pas un sous espace vectoriel de   car .

Exemple3 :

 n’est pas un sous-espace vectoriel de , car  et , mais .

Sommes de sous-espaces vectoriels

On appelle somme de deux sous-espaces  et  d’un espace vectoriel , l’ensmble

  .

Remarques :

1-       est un sous-espace vectoriel et c’est le plus petit sous-espace qui contient   et

2-      Si  et  , on dit que  et  sont en somme directe ou qu’ils sont supplémentaires.

3-      Si  et  sont deux sous-espaces supplémentaires d’un espace vectoriel , alors

.

La somme s’écrit dans ce cas

Exemple4 :                                                                                                                                                                                  

Les sous-espaces  et  de l’exemple1 sont en somme directe dans , car  et

Systèmes et combinaisons linéaires de vecteurs

Soit  un -espace vectoriel, on appelle :

1-      Système ou famille de vecteurs de  toute suite de vecteurs indexés par une famille , une telle suite s’écrit  ou .

2-      Combinaison linéaire des vecteurs   un vecteur  qui s’écrit sous la forme .

Et on dit qu’un système  de vecteurs de  est :

1-      Libre (linéairement indépendant) si ,  Sinon on dit que le système  est lié.

2-      Générateur de l’espace , si tout vecteur de  s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs

3-      Une base de  s’il est libre et générateur.

Remarques :

1-      Si le système de vecteur est générateur d’un sous espace  on écrit

2-      Si l’espace  est engendré par un système fini de vecteurs on dit que  est de dimension finie.

3-      Le cardinal (nombre de vecteurs) d’une base de  s’appelle dimension de  et est notée  ou

4-      Si  alors :

-          Tout système libre est de cardinal au plus égal à  et son cardinal est égal à  si et seulement si il est une base.

-          Tout système générateur est de cardinal au moins égal à  et son cardinal est égal à  si et seulement si il est une base.

5-      Si  est un sous espace de  alors   et  si et seulement si

6-     

7-